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九年级数学 《二次函数y=ax2的图象》导学案

作者:李祝平 发布时间:2012-12-19 11:11 点击数: 【字体:

 

 吴店二中数学导学案
二次函数y=ax2的图象
主备人:李祝萍   审核:杜学兵
学习目标:
知识目标:1.会用描点法画出二次函数y=ax2(a ≠ o)的图象;
2.能根据图象观察、分析出二次函数y=ax2(a ≠ o)图象的开口方向,对称轴,顶点坐标等有关性质。
能力目标:通过函数图象进一步理解二次函数和抛物线的有关知识,提高对比、发现、概括能力,渗透数形结合的数学思想方法。
情感目标:通过作函数图象,体会数学中的特殊与一般的辩证关系;培养学生的动手能力、勇于探索创新及实事求是的科学精神。
学习重点:1.会画二次函数y=ax2(a ≠ o)的图象
2.根据图象观察分析二次函数y=ax2(a ≠ o)的性质;
学习难点:二次函数y=ax2(a ≠ o)的性质及应用
学习方法:自主、合作、交流
学习过程:
(一)回顾旧知,类比引入
问题1:
(1)       我们曾经学过哪几类函数?我们是如何对它们进行研究的?
(2)       它们的图象分别是什么形状?
(3)       用描点法画函数象的基本步骤是什么?
师生活动:教师引导,学生回顾。类比从简单的正比例函数入手研究一次函数,学生感悟从最简单的二次函数y=ax2 图象开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质。
【设计意图】通过回顾一次函数的学习过程,体会其中从特殊到一般,简单到复杂,以及数形结合的研究函数的思想方法,从而导入要研究的问题,激发学生的探究欲望。
(二)合作探究
活动一:分组用描点法画出函数y=ax2(a=1,,2,-1,-,-2)的图象
【提示:画图象的一般步骤:①列表(取几组x、y的对应值;②描点(表中x、y的数值在坐标平面中描点(x,y);③连线(用平滑曲线).】
列表:

X  
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=x2   
9
4
1
0
1
4
9
y=x2
 
2
0
2
 
y=2x2
18
8
2
0
2
8
18
y=-x2   
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
y=-x2
 
-2
-
0
-
 
 
y=-2x2
-18
-4
-2
0
-2
-8
-18

 
 
 
 


 

描点,并连线
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
师生活动:①分小组进行,让每组选一个不同的a值,利用描点法画出图象。
     ②教师展示各小组的图象,指出不足的地方,并让学生更正图中的错误;小组交流图象的共同点。适时引出抛物线的定义。
 
【设计意图】各小组取不同的a值作图,为下步讨论性质提供素材。学生自主作图,相互交流,既能让每个学生在自主学习中学习巩固作图的方法,也能让学生在相互交流中相互学习,发现新知。
 
活动二:在同一平面坐标系内观察抛物线y=ax2(a>0)(a=1,,2)图象的性质
师生活动:教师引导学生结合图象从以下几个方面分析:
共同点 ①从形状看:都是     
②从开口方向看:开口向  
        ③从对称性角度看:都是    对称图形。对称轴是       
(观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于y轴对称,从而图象关于y轴对称.)
④从顶点看:顶点坐标为(   )。顶点是图象的    点。(填“最高”或“最低”)函数有最    值,最小值是y=   
不同点:哪一条抛物线的开口最大?哪一条开口最小?决定开口大小的是哪一个条件?
小结:当a>0时,抛物线y=ax2对称轴是y轴,顶点是原点。开口向上,顶点是最低点。函数有最小值。a越大,抛物线的开口越小。
活动三:在同一平面坐标系内观察观察抛物线y=ax2(a<0)(a=-1,-,-2)
图象的性质
师生活动:学生按活动一的探究方法独立归纳。完成下列问题。
共同点: ①从形状看:都是_________线。
         ②从开口方向看:开口向向  
     ③从对称性角度看:都是    对称图形。对称轴是       
④从顶点看:抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点。顶点坐标为(   )。顶点是图象的    点。(填“最高”或“最低”)函数有最______值,最小值是y=______________。
不同点:抛物线        开口最大 ;抛物线        开口最小 。|a| 越大开口     
自主归纳:当a<0时,抛物线yax2对称轴是y轴,顶点是原点。开口向       ,顶点是最     点。函数有最     值。|a越大,抛物线的开口越    
活动四:在同一平面坐标系中观察y=x2与y=-x2 的图像的对称关系。
y=x2与y=-x2 的图像关于x轴成      对称;关于      成中心对称。
 
活动五:根据上面两组抛物线的图像性质理一理
1.抛物线y=ax2的性质

 
图象(草图)
开口
方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a>0
 
 
 
 
 
 
 
 
当x=____时,y有最_______值,是______.
a<0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
当x=____时,y有最_______值,是______.

2.抛物线y=x2与y=-x2关于________对称,因此,抛物线y=ax2与y=-ax2关于_______ 对称,开口大小_______________.
3.当a>0时,a越大,抛物线的开口越___________;
   当a<0时,|a| 越大,抛物线的开口越_________;
   因此,|a| 越大,抛物线的开口越________,反之,|a| 越小,抛物线的开口越________.
【设计意图】把学生在活动一中画出的图象,分三组观察比较,探究。更能激发学生的兴趣。活动过程中采取教——辅——放的过程,把学生自主探究和教师的适时点拨巧妙结合,把最大的思考空间留给学生。能有效的增强学生分析,发现和解决问题的能力。
(三)应用新知,拓展创新
1.填表:

 
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
y=x2
 
 
 
 
当x=____时,y有最_______值,是______.
y=-8x2
 
 
 
 
当x=____时,y有最_______值,是______

2.若二次函数y=ax2的图象过点(1,-2),则a的值是___________.
3.二次函数y=(m-1)x2的图象开口向下,则m____________;
4.二次函数y=mx有最低点,则m=___________.
(四)总结梳理
师生活动:学生自主总结,教师适当点拨提升。
【设计意图】引导学生归纳本节课的知识点(画二次函数图象的注意事项,二次函数y=ax2
的性质等)教师对思想方法(类比的方法,从特殊到一般的认知思路,数形结合的思想等)学习方法进行小结。
(五)课堂检测
1.函数y=x2的图象开口向_______,顶点是__________,对称轴是________,
   当x=___________时,有最_________值是_________.
2.二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值 
    范围为___________.
3.抛物线y=ax2与y=x2的开口大小、形状一样,方向相反,则
a=___________
 
4.如图,                      ① y=ax2
                                               ② y=bx2
                                                     ③ y=cx2
                                                     ④ y=dx2
                               比较a、b、c、d的大小,用“>”连接.
                                                      ___________________________________
 
【设计意图】是本节课目标的检测,也是本节知识的拓展和延伸。设计形式,旨在激发学生的学习积极性。
(六)作业
必做题:书本P14页:第3 4题
选做题:在同一坐标系中,画出二次函数y=x+1
 y=x2-1的图象。
(1)y=x+1,y=x2-1的开口方向,对称轴,顶点各是什么?
(2)y=x+1,y=x2-1与y=x有什么关系?
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